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Analytische Geometrie: Eine Einführung für Studienanfänger by Gerd Fischer

By Gerd Fischer

Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affinen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel über lineare Optimierung befaßt sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann guy die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluß affiner Räume enthält guy den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele und Übungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen.

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Geometry of Knowledge for Intelligent Systems

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Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics (Springer Undergraduate Mathematics Series)

Affine geometry and quadrics are attention-grabbing matters on my own, yet also they are very important purposes of linear algebra. they provide a primary glimpse into the area of algebraic geometry but they're both suitable to a variety of disciplines resembling engineering.

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Normal forms and bifurcation of planar vector fields

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Durch geeignete Wahl der Koordinaten konnen wir dies wie folgt beschreiben. Sei K={(x,y) E IR2: x 2 +y2 =r2} mitr>O und Setzen wir a:= r und b := ar, so ist 0 < b";;; a und E :=f(K)= {(X,y) E IR2: :: + :: = I}. 4. Quadriken Man nennt E Ellipse, a und b die Hauptachsen. Die Punkte (a, 0) und (-a, 0) sowie (0, b) und (0, -b) heiBen Scheitel. 27). f , II 1"\ V ~ ~~If~. '7 V 1\ ,JO" v V ~ ~ t. 27 Die erste iiberraschende geometrische Eigenschaft erhalten wir, wenn wir c := Va 2 - b 2 berechnen und die Brennpunkte F := (c, 0) und F' = (- c, 0) betrachten.

Obwohl wir spater im Rahmen der projektiven Geometrie viel ailgemeinere Ergebnisse erhalten werden, soll doch kurz ausgeftihrt werden, wie man die klassischen SpeziaWiJle mit ein klein wenig Rechnung ganz elementar erhalten kann. 4. 44 47 48 1. J';I ~ BUd lAS Wir betrachten den Kreiskegel C = {(x, y, z) E IR 3 : X2 + Y2 = Z 2} und denken uns das Koordinatensystem (x, y, z) entstanden durch Drehung des (x,y,z)-Systems urn den Winkel I{! mit der y-Achse als Drehachse (Bild 1-47). )z z y =y Setzt man dies in die Kegelgleichung ein, so erMlt man (COS 2 1{!

32 40 1. Affine Geometrie Beweis. Die zu beweisende Bedingung lautet quadriert (X-C)2+y2 (:2 _xr c2 a 2 Eine triviale Rechnung ergibt daraus x2 y2 -+-=l. 33). DieseReflexionseigenschaft in mehreren Schritten zu beweisen, iiberlassen wir dem Leser als Ubungsaufgabe 2. Gegeben sei ein beJiebiger Punkt p = (xo, Yo) der Ellipse mit der Gleichung x i =l. 34 Man beweise: a) Die durch p gehende Tangente T hat die Gleichung XoX YoY a b2 -+ 2 = 1. 4. Quadriken c) Es ist d(P,p) = a -exo, d(P',p) = a+exo.

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