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Algèbre [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir

By Antoine Chambert-Loir

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S n } à n éléments et pour −1 ensemble R l’ensemble des commutateurs s i s j s−1 i s j , pour 1 ⩽ i < j ⩽ n. L’application f de F(S) dans Zn qui applique s i sur le i-ème vecteur de base e i est surjective. Démontrons que son noyau est le sous-groupe distingué engendré −1 par R. Tout d’abord, f (s i s j s−1 i s j ) = e i + e j − e i − e j = 0, donc R ⊂ Ker( f ) et f définit, par passage au quotient, un homomorphisme de groupes f¯ de G(S; R) sur Zn , surjectif. Pour démontrer que f¯ est injectif, on démontre que c’est un isomorphisme et, pour cela, on exhibe son inverse.

M n ) une suite d’éléments de Z, premiers entre eux dans leur ensemble. Il existe alors une famille génératrice (y1 , . . , y n ) de A telle que y1 = ∑ni=1 m i x i . 52 CHAPITRE 2. GROUPES Démonstration. — On raisonne par récurrence sur l’entier m = ∑ni=1 ∣m i ∣. Comme les m i sont premiers entre eux dans leur ensemble, ils ne sont pas tous nuls et m ⩾ 1. Si m = 1, il existe un entier i tel que m i = ±1 et m j = 0 si j ≠ i. Alors la suite (y1 , . . , y n ) obtenue en posant y1 = m i x i y i = x1 (si i ≠ 1) et y j = x j si j ∈/ {1, i} convient.

Ds ) une suite d’entiers ⩾ 2 tels que ds ∣ds−1 ∣ . . ∣d2 ∣d1 , de sorte que A soit isomorphe à Zr × ∏si=1 (Z/d i Z). 9. GROUPES ABÉLIENS 53 On dit que r est le rang de A et que les entiers d1 , . . , ds sont ses facteurs invariants. Démonstration. — Soit (x1 , . . , x n ) une quasi-base de A ; quitte à réordonner cette suite, on suppose que x1 , . . , xr sont d’ordre infini et que xr+1 , . . , x n sont d’ordre fini ; notons alors m i l’ordre de x i si i >. D’après la définition d’une quasi-base, le groupe A est isomorphe à Zr × ∏ni=r+1 (Z/m i Z).

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